Arete
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113-學測-數學A | Arete（阿瑞特）
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113-學測-數學A
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研究顯示：服用某藥物後，在使用者體內的藥物殘留量隨時間呈指數型衰退。已知在服用某藥物
2
2
2
小時後，體內仍殘留有該藥物的一半劑量，試問下列哪一選項正確？
如圖，
O
A
B
C
−
D
E
F
G
OABC-DEFG
O
A
BC
−
D
EFG
為一正方體，試問向量外積
A
D
→
×
A
G
→
\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AG}
A
D
與下列哪一個向量平行？
×
A
G
設
a
∈
{
−
6
,
−
4
,
−
2
,
2
,
4
,
6
}
a\in\{-6,-4,-2,2,4,6\}
a
∈
{
−
6
,
−
4
,
−
2
,
2
,
4
,
6
}
已知
a
a
a
為實係數三次多項式
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的最高次項係數，若函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形與
x
x
x
軸交於三點，且其
x
x
x
坐標成首項為
−
7
−7
−
7
、公差為
a
a
a
的等差數列。試問共有幾個
a
a
a
使得
f
(
0
)
>
0
f(0)>0
f
(
0
)
>
0
？
試問有多少個實數
x
x
x
滿足
sin
(
x
+
π
6
)
=
sin
x
+
sin
π
6
\sin(x+{\dfrac{\pi}{6}})=\sin x+\sin{\dfrac{\pi}{6}}
sin
(
x
+
6
π
)
=
sin
x
+
sin
6
π
且
0
≤
x
<
2
π
0\leq x\lt 2\pi
0
≤
x
<
2
π
？
將
1
1
1
到
50
50
50
這
50
50
50
個正整數平分成甲乙兩組，每組各
25
25
25
個數，使得甲組的中位數比乙組的中位數小
1
1
1
。試問共有幾種分法？
在同一平面上，相距
7
7
7
公里的
A
,
B
A,B
A
,
B
兩砲台，
A
A
A
在
B
B
B
的正東方。某次演習時，
A
A
A
向西偏北
θ
\theta
θ
方向發射砲彈，
B
B
B
則向東偏北
θ
\theta
θ
方向發射砲彈，其中
θ
\theta
θ
為銳角，觀測回報兩砲彈皆命 中
9
9
9
公里外的同一目標
P
P
P
。接著
A
A
A
改向西偏北
θ
2
\dfrac{\theta}{2}
2
θ
方向發射砲彈，彈著點為
9
9
9
公里外的點
Q
Q
Q
。試問砲台
B
B
B
與彈著點
Q
Q
Q
的距離
B
Q
‾
\overline{BQ}
BQ
為何？
令坐標平面上滿足
y
=
log
x
y=\log x
y
=
lo
g
x
的點
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
所成圖形為
Γ
\Gamma
Γ
，試問滿足下列哪些關係式的
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
所成圖形與
Γ
\Gamma
Γ
完全相同？
對任一正整數
n
≥
2
n\ge2
n
≥
2
，令
T
n
T_n
T
n
表示邊長為
n
,
n
+
1
,
n
+
2
n,n+1,n+2
n
,
n
+
1
,
n
+
2
的三角形。試選出正確的選項。
（註：若三角形的三邊長分別為
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
，令
s
=
a
+
b
+
c
2
s=\dfrac{a+b+c}{2}
s
=
2
a
+
b
+
c
則三角形面積為
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
）
某實驗室蒐集了大量的
A
A
A
、
B
B
B
兩相似物種，記錄其身長為
x
x
x
（單位：公分）與體重
y
y
y
（單位：公克），得
A
A
A
、
B
B
B
兩物種的平均身長分別為
x
A
‾
=
5.2
\overline{x_A}=5.2
x
A
=
5.2
、
x
B
‾
=
6
\overline{x_B}=6
x
B
=
6
，標準差分別為
0.3
0.3
0.3
、
0.1
0.1
0.1
。令
A
A
A
、
B
B
B
兩物種的平均體重分別為
y
A
‾
\overline{y_A}
y
A
、
y
B
‾
\overline{y_B}
y
B
。若
A
A
A
、
B
B
B
兩物種其體重
y
y
y
對身長
x
x
x
的迴歸直線分別為
L
A
:
y
=
2
x
−
0.6
L_{A}:y=2x-0.6
L
A
:
y
=
2
x
−
0.6
、
L
B
:
y
=
1.5
x
+
0.4
L_{B}:y=1.5x+0.4
L
B
:
y
=
1.5
x
+
0.4
，相關係數分別為
0.6
0.6
0.6
、
0.3
0.3
0.3
。今發現一隻身長
5.6
5.6
5.6
公分、體重
8.6
8.6
8.6
公克的個體
P
P
P
，試選出正確的選項。
坐標平面上有一正方形與一正六邊形，正方形在正六邊形的右邊。已知兩正多邊形都有一邊在
x
x
x
軸上，且正方形中心
A
A
A
與正六邊形中心
B
B
B
都在
x
x
x
軸的上方，且兩多邊形恰有一個交點
P
P
P
，又知正方形的邊長為
6
6
6
，而點
P
P
P
到
x
x
x
軸的距離為
2
3
2\sqrt{3}
2
3
。試選出正確的選項。
考慮二元一次方程組
{
a
x
+
6
y
=
6
x
+
b
y
=
1
\left\{ \begin{matrix} ax+6y=6\\ x+by=1 \end{matrix} \right.
{
a
x
+
6
y
=
6
x
+
b
y
=
1
，其係數
a
,
b
a,b
a
,
b
之值分別由投擲一顆公正骰子與一枚均勻硬幣來決定。令
a
a
a
值為骰子出現之點數；若硬幣出現正面時
b
b
b
值為
1
1
1
，若硬幣出現反面時
b
b
b
值為
2
2
2
。試選出正確的選項。
在坐標平面上給定三點
A
(
1
,
0
)
A(1,0)
A
(
1
,
0
)
、
B
(
0
,
1
)
B(0,1)
B
(
0
,
1
)
、
C
(
−
1
,
0
)
C(-1,0)
C
(
−
1
,
0
)
，令
Γ
Γ
Γ
為
Δ
A
B
C
ΔABC
Δ
A
BC
經矩陣
T
=
[
3
0
a
1
]
T=\left[{\begin{array}{r r}{3}&{0}\\ {a}&{1}\end{array}}\right]
T
=
[
3
a
0
1
]
變換後的圖形，其中
a
a
a
為實數。試選出正確的選項。
某銷售站銷售甲、乙、丙三型手機，甲手機每支利潤
100
100
100
元，乙手機每支利潤
400
400
400
元，丙手機每支利潤
240
240
240
元。上年度甲、乙、丙手機各賣出
A
,
B
,
C
A,B,C
A
,
B
,
C
支，平均每支利潤為
260
260
260
元；且知銷售甲、乙兩型手機共
A
+
B
A+B
A
+
B
支的平均每支利潤為
280
280
280
元。則該站上年度售出的三型手機數量比為
A
:
B
:
C
=
A:B:C=
A
:
B
:
C
=
:
:
:
:
:
:
。（化為最簡整數比）
已知
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
、
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
、
h
(
x
)
h(x)
h
(
x
)
皆為實係數三次多項式，且除以
x
2
−
2
x
+
3
x^2-2x+3
x
2
−
2
x
+
3
的餘式分別為
x
+
1
x+1
x
+
1
、
x
−
3
x−3
x
−
3
、
−
2
−2
−
2
。若
x
f
(
x
)
+
a
g
(
x
)
+
b
h
(
x
)
x f\left(x\right)+a g\left(x\right)+b h(x)
x
f
(
x
)
+
a
g
(
x
)
+
bh
(
x
)
可以被
x
2
−
2
x
+
3
x^{2}-2x+3
x
2
−
2
x
+
3
整除，其中
a
,
b
a,b
a
,
b
為實數，則
a
=
a=
a
=
，
b
=
b=
b
=
。
某商場舉辦現場報名的摸彩箱抽獎活動，報名截止後，主持人依報名人數置入同數量的摸彩球，其中有
10
10
10
顆被標示為幸運獎，其獎項為
5000
5000
5000
元禮券及
8000
8000
8000
元禮券各
5
5
5
顆，每顆球被抽中的機率皆相同，抽後不放回。抽獎前，主辦單位依獎項個數與報名人數，主持人公告中獎機率為
0.4
%
0.4\%
0.4%
。開始抽獎後，每人依序抽球，每個人只有一次抽獎機會。若前
100
100
100
位參加抽獎者，恰有
1
1
1
人抽中
5000
5000
5000
元禮券且沒有人抽中
8000
8000
8000
元禮券，則抽獎順序為第
101
101
101
號者可獲禮券金額的期望值為
元。
坐標平面上，已知向量
v
→
\overrightarrow{v}
v
在向量
(
2
,
−
3
)
(2, -3)
(
2
,
−
3
)
方向的正射影長比原長少
1
1
1
，而在向量
(
3
,
2
)
(3,2)
(
3
,
2
)
方向的正射影長比原長少
2
2
2
。若
v
→
\overrightarrow{v}
v
與兩向量
(
2
,
−
3
)
,
(
3
,
2
)
(2, -3),(3,2)
(
2
,
−
3
)
,
(
3
,
2
)
的夾角皆為銳角，則
v
→
\overrightarrow{v}
v
在向量
(
4
,
7
)
(4,7)
(
4
,
7
)
方向的正射影長為
。（化為最簡根式）
坐標平面上，在以
O
(
0
,
0
)
,
A
(
0
,
1
)
,
B
(
1
,
1
)
,
C
(
1
,
0
)
O(0,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0)
O
(
0
,
0
)
,
A
(
0
,
1
)
,
B
(
1
,
1
)
,
C
(
1
,
0
)
為頂點的正方形（含邊界）內，令
R
R
R
為滿足下述條件的點
P
(
x
,
y
)
P(x,y)
P
(
x
,
y
)
所成區域：與點
P
(
x
,
y
)
P(x,y)
P
(
x
,
y
)
的距離為
∣
x
−
y
∣
|x-y|
∣
x
−
y
∣
之所有點所成圖形完全落在正方形
O
A
B
C
OABC
O
A
BC
（含邊界）內。則區域
R
R
R
的面積為
。（化為最簡分數）
題組 18-20 （15分）
坐標空間中 ， 設
O
O
O
為原點，
E
E
E
為平面
x
−
z
=
4
x-z=4
x
−
z
=
4
。試回答下列問題。
若原點
O
O
O
在平面
E
E
E
上的投影點為
Q
Q
Q
，且向量
O
Q
→
\overrightarrow{OQ}
OQ
與向量
(
1
,
0
,
0
)
(1,0,0)
(
1
,
0
,
0
)
的夾角為
α
\alpha
α
，則
cos
α
\cos{\alpha}
cos
α
之值為下列哪一選項？
已知空間中有一點
P
(
a
,
b
,
c
)
P(a,b,c)
P
(
a
,
b
,
c
)
滿足向量
O
P
→
\overrightarrow{OP}
OP
與向量
(
1
,
0
,
0
)
(1,0,0)
的夾角
。試說明實數
滿足不等式
。
承
19
19
19
題，已知點
P
P
P
在平面
E
E
E
上且
b
=
0
b = 0
b
=
0
。試求
c
c
c
的最大可能範圍，並求線段
O
P
‾
\overline{OP}
的最小可能長度。
的最小可能長度
(
1
,
0
,
0
)
θ
≤
π
6
\theta \le \dfrac{\pi}{6}
θ
≤
6
π
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
a
2
≥
3
(
b
2
+
c
2
)
a^2\ge3(b^2+c^2)
a
2
≥
3
(
b
2
+
c
2
)
OP
≤
c
≤
\le c \le
≤
c
≤
O
P
‾
\overline{OP}
OP
