113-學測-數學A
中等
研究顯示:服用某藥物後,在使用者體內的藥物殘留量隨時間呈指數型衰退。已知在服用某藥物 22 小時後,體內仍殘留有該藥物的一半劑量,試問下列哪一選項正確?
如圖,OABCDEFGOABC-DEFG 為一正方體,試問向量外積 AD×AG\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AG} 與下列哪一個向量平行?image.png
a{6,4,2,2,4,6}a\in\{-6,-4,-2,2,4,6\} 已知 aa 為實係數三次多項式 f(x)f(x) 的最高次項係數,若函數 y=f(x)y=f(x) 的圖形與 xx 軸交於三點,且其 xx 坐標成首項為 7−7、公差為 aa 的等差數列。試問共有幾個 aa 使得 f(0)>0f(0)>0
試問有多少個實數 xx 滿足 sin(x+π6)=sinx+sinπ6\sin(x+{\dfrac{\pi}{6}})=\sin x+\sin{\dfrac{\pi}{6}}0x<2π0\leq x\lt 2\pi
1150505050 個正整數平分成甲乙兩組,每組各 2525 個數,使得甲組的中位數比乙組的中位數小 11。試問共有幾種分法?
在同一平面上,相距 77 公里的 A,BA,B兩砲台,AABB 的正東方。某次演習時,AA 向西偏北 θ\theta 方向發射砲彈, BB 則向東偏北 θ\theta 方向發射砲彈,其中 θ\theta 為銳角,觀測回報兩砲彈皆命 中 99 公里外的同一目標 PP。接著 AA 改向西偏北 θ2\dfrac{\theta}{2} 方向發射砲彈,彈著點為 99 公里外的點 QQ 。試問砲台 BB 與彈著點 QQ 的距離 BQ\overline{BQ} 為何?
令坐標平面上滿足 y=logxy=\log x 的點 (x,y)(x,y) 所成圖形為 Γ\Gamma,試問滿足下列哪些關係式的 (x,y)(x,y) 所成圖形與 Γ\Gamma 完全相同?
對任一正整數 n2n\ge2,令 TnT_n 表示邊長為 n,n+1,n+2n,n+1,n+2 的三角形。試選出正確的選項。
(註:若三角形的三邊長分別為 a,b,ca,b,c,令 s=a+b+c2s=\dfrac{a+b+c}{2} 則三角形面積為 s(sa)(sb)(sc)\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
某實驗室蒐集了大量的 AABB 兩相似物種,記錄其身長為 xx(單位:公分)與體重 yy(單位:公克),得 AABB 兩物種的平均身長分別為 xA=5.2\overline{x_A}=5.2xB=6\overline{x_B}=6,標準差分別為 0.30.30.10.1。令 AABB 兩物種的平均體重分別為 yA\overline{y_A}yB\overline{y_B}。若 AABB 兩物種其體重 yy 對身長 xx 的迴歸直線分別為 LA:y=2x0.6L_{A}:y=2x-0.6LB:y=1.5x+0.4L_{B}:y=1.5x+0.4,相關係數分別為 0.60.60.30.3。今發現一隻身長 5.65.6 公分、體重 8.68.6 公克的個體 PP,試選出正確的選項。
坐標平面上有一正方形與一正六邊形,正方形在正六邊形的右邊。已知兩正多邊形都有一邊在 xx 軸上,且正方形中心 AA 與正六邊形中心 BB 都在 xx 軸的上方,且兩多邊形恰有一個交點 PP ,又知正方形的邊長為 66,而點 PPxx 軸的距離為 232\sqrt{3}。試選出正確的選項。
考慮二元一次方程組 {ax+6y=6x+by=1\left\{ \begin{matrix} ax+6y=6\\ x+by=1 \end{matrix} \right.,其係數 a,ba,b 之值分別由投擲一顆公正骰子與一枚均勻硬幣來決定。令 aa 值為骰子出現之點數;若硬幣出現正面時 bb 值為 11,若硬幣出現反面時 bb 值為 22。試選出正確的選項。
在坐標平面上給定三點 A(1,0)A(1,0)B(0,1)B(0,1)C(1,0)C(-1,0) ,令 ΓΓΔABCΔABC 經矩陣 T=[30a1]T=\left[{\begin{array}{r r}{3}&{0}\\ {a}&{1}\end{array}}\right] 變換後的圖形,其中 aa 為實數。試選出正確的選項。
某銷售站銷售甲、乙、丙三型手機,甲手機每支利潤 100100 元,乙手機每支利潤 400400 元,丙手機每支利潤 240240 元。上年度甲、乙、丙手機各賣出 A,B,CA,B,C 支,平均每支利潤為 260260 元;且知銷售甲、乙兩型手機共 A+BA+B 支的平均每支利潤為 280280 元。則該站上年度售出的三型手機數量比為 A:B:C=A:B:C= :: :: 。(化為最簡整數比)
已知 f(x)f(x)g(x)g(x)h(x)h(x) 皆為實係數三次多項式,且除以 x22x+3x^2-2x+3 的餘式分別為 x+1x+1x3x−32−2 。若 xf(x)+ag(x)+bh(x)x f\left(x\right)+a g\left(x\right)+b h(x) 可以被 x22x+3x^{2}-2x+3 整除,其中 a,ba,b 為實數,則 a=a= b=b=
某商場舉辦現場報名的摸彩箱抽獎活動,報名截止後,主持人依報名人數置入同數量的摸彩球,其中有 1010 顆被標示為幸運獎,其獎項為 50005000 元禮券及 80008000 元禮券各 55 顆,每顆球被抽中的機率皆相同,抽後不放回。抽獎前,主辦單位依獎項個數與報名人數,主持人公告中獎機率為 0.4%0.4\%。開始抽獎後,每人依序抽球,每個人只有一次抽獎機會。若前 100100 位參加抽獎者,恰有 11 人抽中 50005000 元禮券且沒有人抽中 80008000 元禮券,則抽獎順序為第 101101 號者可獲禮券金額的期望值為 元。
坐標平面上,已知向量 v\overrightarrow{v} 在向量 (2,3)(2, -3) 方向的正射影長比原長少 11,而在向量 (3,2)(3,2) 方向的正射影長比原長少 22。若 v\overrightarrow{v} 與兩向量 (2,3),(3,2)(2, -3),(3,2) 的夾角皆為銳角,則 v\overrightarrow{v} 在向量 (4,7)(4,7) 方向的正射影長為 。(化為最簡根式)
坐標平面上,在以 O(0,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0)O(0,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0) 為頂點的正方形(含邊界)內,令 RR 為滿足下述條件的點 P(x,y)P(x,y) 所成區域:與點 P(x,y)P(x,y) 的距離為 xy|x-y| 之所有點所成圖形完全落在正方形 OABCOABC(含邊界)內。則區域 RR 的面積為 。(化為最簡分數)
題組 18-20 (15分)
坐標空間中 , 設 OO 為原點,EE 為平面 xz=4x-z=4。試回答下列問題。
若原點 OO 在平面 EE 上的投影點為 QQ,且向量 OQ\overrightarrow{OQ} 與向量 (1,0,0)(1,0,0) 的夾角為 α\alpha,則 cosα\cos{\alpha} 之值為下列哪一選項?
已知空間中有一點 P(a,b,c)P(a,b,c) 滿足向量 OP\overrightarrow{OP} 與向量 (1,0,0)(1,0,0) 的夾角 θπ6\theta \le \dfrac{\pi}{6}。試說明實數 a,b,ca,b,c 滿足不等式 a23(b2+c2)a^2\ge3(b^2+c^2)
1919 題,已知點 PP 在平面 EE上且 b=0b = 0。試求 cc 的最大可能範圍,並求線段 OP\overline{OP} 的最小可能長度。
c\le c \le
OP\overline{OP} 的最小可能長度